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緩和曲線のススメ2 [やってみた]

職業柄、設計仕様を目にすることが多いが
緩和曲線の設計実務なんてやったことはない。
せいぜい今回のNゲージのやってみたレベルなのだけど
すこし掘り下げてみよう。

緩和曲線ってのは、ネットに出てる情報を検索すれば
3つ4つは出てくると思うけども、
まぁ説明が難しい(^^;
もともと数学の勉強が好きならば、
すんなり入ってくるのかもしれないけど
ちょいと敷居が高い。

ざっくりと言うと、緩和曲線ってのは
直線部から目標半径の円弧にむかってスムーズに
「進めば進むほど半径が小さくなる」曲線のこと。

とにかく進めば進むほど半径が小さくなっていけば良い。

まずはその半径の変化をどうするのがスムーズか?
って曲線の種類の一つとして「クロソイド」ってのが有名です。

車の場合、直進している車両のスピードを変えずに走行中
ハンドルを等速度で回していくと、その走行ラインはクロソイド。
ハンドルを回す速さも一定にしないとクロソイド曲線にはならないのがミソ。

今回の実験モジュールもそのクロソイドの計算概念を採用して
15センチ進むごとに半径をおおよそ半減させて近似したわけです。

ところが、目標半径のR480に差し掛かったところで挙動がカクっと
変化するのが動画でも確認できるんですよねぇ。


かなり後に気が付いたんですが、その原因はクロソイドにあった。

クロソイドは「進んだら進んだ分だけ半径が減る」渦巻き状の曲線です。

式で書けばこう。 「 R×L = A^2 」
Aってのはクロソイドのパラメータ(定数)なので、
300でも500でも適当な数字にしておけば良いんですが、
Rはクロソイド曲線の始点からの走行距離Lの時の半径でお互いに反比例の関係。
進めば進むほど半径が減少して(急カーブになって)いきます。

エクセルにその式を入れて、Lだけ進んだ地点の半径Rを算出することができるので
そのやり方で、ある一定の走行距離Lの整数倍でRを計算して
複々線として4線分を書いたのが下の図。


191008-1.PNG


一番外側の赤い線に注目して「角度寸法(白)」と「その変化(黒)」を記入してみた。
Lの分だけ進むと0.28°づつ増加して曲がってるのが(一か所だけ誤差があるが)わかる。
クロソイドの別の公式にもその角度については「 L ÷ 2R 」との表記があって
計算してみればわかることだけども、注目すべきはその意味・・つまり
「角度の変化率が一定にキツくなっている」こと。

ということは、最後の最後に目標のRに達した時点で、
その変化率がカクっと突然フラットになる。

これが最後のカクっとなる原因。

数学が得意な方なら、他の方の記事やなんかで「曲率」のグラフを見れば
一目瞭然わかるでしょう。
曲率(半径の逆数)がゼロから直線的に増加して、目標の曲率に達したら
いきなり平坦にポッキリと折れています。


で、その原因が分かったところで、そのポッキリ、カクっとしてるところを
何とかしたくなるのが人情。

ありましたよ・・そんな夢のような緩和曲線が。
・・知らなかっただけですが(^^;


サイン半波長逓減曲線


なんだか理解に苦しい名称ですが、とにかくネットで色々さぐって
自分なりに理解が深まったところで作図してみました。


191008-2.PNG


さっきのクロソイドと同じように、Lだけ進む毎にRを計算して
つなげてみた線のL毎に進んだ角度とその差分を数値に書き出してあります。

画像左下の直線区間から進むと、0.05°→0.20°→0.44°→・・と角度が増えて
増加分は +0.15 +0.24 +0.32 +0.39 ・・と+0.48まで増加していって、
右側の目標半径のR480に向かってまた同じように減少していきます。

クロソイドの時はその増加分が直線的で一定だったのに、
これはサイン波(コサイン波)のように角度の増加分がスムーズになっていますね。

つまり、目標半径に到達した時には、曲線の半径変化がゼロになっている・・
つまり、つまり、車でいうと

「ハンドルをジワジワ回しはじめて、またジワジワ戻して真っすぐに戻る。
 戻りきる時もジワジワ止める」

・・なので、非常にスムーズな連結面の挙動が期待できますね♪


それを曲率(半径の逆数)グラフで見ると、なるほど、
目標の半径に到達する箇所だけでなく直線部から曲がりだすところまでも
サインカーブ(コサインカーブ)になってますね。

クロソイドは曲がり始めたら最後、ブラックホールに吸い込まれるがごとく
渦巻きの内側にどんどん入っていくだけなので、目標半径が小さければ小さいほど
そのカクっと折れる挙動が目立つわけです。


よくわかりました☆


ここまで書いておいて、他の方がネット上に公開してくださっている
公式を一つも使えず、概念とその意図から自力で導いた式しか無いと言う
情けない状態の私でして・・・(^^;


何が情けないって、測量士なんですよ オレ


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